Concepto de potencia

Bienvenidos de nuevo, amigos de lo desconocido.

 

El portal geométrico nos introduce hoy en uno de los parajes más alucinantes que vuestros ojos hayan visto jamás. Agarraos bien y no dejéis que vuestra mente dé demasiadas vueltas o podréis perderla por el camino. Escuchad con atención lo que he de deciros a cada paso y disfrutaréis de una sabiduría al alcance de muy pocos afortunados.

 

Hemos llegado a los escabrosos páramos de la POTENCIA.

¿Qué es la potencia?, os preguntaréis.

 

Quizá os suene la magnitud física del mismo nombre y penséis que vamos a contar caballos de vapor, pero nada más distinto a la realidad.

En verdad, toma este nombre porque se trata de un producto y, por lo tanto, geométricamente, es un área. Pero no tiene que ver con lo que conocéis como la magnitud física de la potencia.

Aclarado este concepto inicial vamos entonces a ver qué es la potencia de un punto respecto a una circunferencia y, para ello, vamos a referirnos primero a un concepto que todos conocemos bien: la distancia.

 

Fijémonos en el siguiente dibujo. Delante de nosotros se hallan una circunferencia y un punto. ¿Cuál es la distancia entre ambos elementos? Pues bien, podemos ver que no hay una sola distancia, sino que hay tantas como podamos imaginarnos. Está la distancia PA, la distancia PB, la distancia PC, incluso la distancia PD.

Sin embargo, tanta incertidumbre no nos aporta nada de claridad cuando queremos tener alguna certeza sobre la medida de las cosas y la distancia entre ellas.

 

Entonces, ¿con cuál nos quedamos?

 

Una distancia bastante consensuada suele ser la distancia mínima. En el siguiente dibujo vemos la distancia mínima del punto a la circunferencia, que se calcula trazando un diámetro que contiene a dicho punto.

 

El problema de esto es que, si trazamos una circunferencia con centro en P y radio la distancia mínima a la circunferencia inicial, cualquiera de los puntos de dicha circunferencia estará a la misma distancia de P, ¿verdad?

Por lo tanto, podríamos argumentar que una circunferencia c₂ (como la que se ve en el siguiente dibujo) está a la misma distancia del punto P que la primera circunferencia, ya que la distancia mínima entre ambas es la misma.

Ummmm, qué curioso… Por mucho que hayamos comprobado que están a la misma distancia (la distancia mínima) nuestros ojos nos dicen que aquí sucede algo extraño, ¿verdad? ¿Cómo vamos a decir que ambas circunferencias están a la misma distancia del punto?

Queda raro, ¿no es cierto?

 

Además, ¿por qué nos estamos centrando en la distancia mínima y no en la máxima? En el siguiente dibujo, con la distancia máxima, sí que vemos que claramente NO están a la misma distancia del punto.

 

¿Y ahora que hacemos? ¿Nos quedamos con la distancia mínima? ¿Con la distancia máxima? ¿Con cualquier otra distancia? ¿Abandonamos nuestra empresa y dejamos el dibujo? ¡¡ESO NUNCA!!

La respuesta es que la distancia se haya en un punto medio entre la distancia mínima y la distancia máxima. De hecho, se trata de una media geométrica entre ambas.

 

Acompañadme ahora puesto que voy a necesitar de vuestros esfuerzos matemáticos para recorrer el camino.

 

Ya hemos expresado anteriormente que, al ser potencia, va a ser un producto de distancias; lo que tiene perfecto sentido tratándose de una media geométrica. Es por tanto que, dicho producto de distancias será la distancia mínima por la distancia máxima.

 

 

 

¿Pero con esto qué podemos hacer? No mucho, la verdad, puesto que son medidas independientes que no están relacionadas entre ellas y no podemos seguir reduciendo a partir de aquí. ¿O sí?

 

Aguardad un instante porque quizá sí estén relacionadas ambas distancias. ¿Qué ocurriría si, como mostramos en el dibujo a continuación, tenemos en cuenta una distancia genérica d (del punto al centro de la circunferencia) y el radio R de la circunferencia?

 

¡Por las barbas de Apolonio! Ahora sí podemos escribir la distancia mínima y la máxima en función de las mismas variables d y R.

¡Interesante lo que hemos obtenido como resultado! 

 

¡El teorema de Pitágoras vuelve a nosotros! Es decir, que se forma un triángulo rectángulo entre d, R y W (que es el segmento de potencia) donde d es la hipotenusa y R y W son los dos catetos. Lo que significa también que, entre R y W se forma un ángulo de 90 grados.

 

Ya somos lo suficientemente buenos geómetras para saber que, si tenemos la hipotenusa colocada (d) y queremos averiguar su ángulo opuesto, éste se encontrará en el arco capaz de 90.

Y la distancia de P al punto de tangencia será la distancia de potencia.

¡He aquí la grandiosa revelación de la potencia!

 

Sin embargo, nos asalta una duda… Hemos comprobado que dicha potencia se cumple si operamos con las distancias mínima y máxima. ¿Ocurrirá lo mismo si, por el contrario, tomamos cualquier par de distancias diferente a este?

 

De nuevo, mesémonos los cabellos y pongámonos manos a la obra para comprobarlo.

 

Si trazamos una recta cualquiera que contenga a P y corte a la circunferencia en A₁ y B₁, podemos notar que se nos forman dos triángulos distintos (PBA₁ y PAB₁, como en el dibujo a continuación). Podemos notar también que el ángulo alfa en P es el mismo en ambos triángulos puesto que está compartido por los dos. Así como el ángulo beta y beta1 también podemos decir que es el mismo ya que ambos se encuentran en el arco capaz que forma el segmento AA₁.

Como los dos ángulos son iguales entre sí, eso sólo puede significar que ambos triángulos son semejantes y, por lo tanto, podemos establecer relaciones de proporcionalidad entre sus lados (aplicando nuestro querido teorema de Thales).

 

Así:

 

 

 

 

Ya hemos demostrado que la potencia es el producto de la distancia mínima por la distancia máxima y, por lo tanto, con la igualdad anterior acabamos de demostrar una generalización del concepto de potencia que se cumple para cualquier par de distancias de un punto respecto a una circunferencia.

 

¿Os lo creéis ahora?

 

Puede que no demasiado, aunque las matemáticas nos han demostrado que así sea. ¡Queremos un dibujo!, exigiréis, quizá. Pues bien, abrid bien los ojos y contemplad en el siguiente vídeo cómo cualquier par de distancias que obtengamos no altera la potencia del punto a la circunferencia. La potencia se mantiene invariable. Las distancias cambian, desde luego, pero el producto entre ellas (o sea, la definición de potencia) queda siempre fija y, además, será igual al cuadrado del segmento de tangencia desde el punto a la circunferencia (calculado ya anteriormente).

Gran viaje el que hemos experimentado con la potencia. Espero, mis pupilos geómetras, encontraros de nuevo, más adelante en el camino, adentrándonos en las insondables selvas de la geometría métrica, compás en mano para abrirnos camino entre la maleza.