Bienvenidos de nuevo a la geometría plana, amigos.
Hoy vamos a explorar un aspecto del que quizá no todos vosotros sois conscientes, pero gracias al cual vamos a encontrar (aunque sea) una pequeña iluminación en el día de hoy.
Y ese aspecto es el de los ángulos existentes entre distintos elementos del plano.
(Por supuesto, cuando nos referimos a “elementos”, queremos hablar de los elementos básicos -puntos, rectas y circunferencias- a no ser que se diga lo contrario y se especifique, por ejemplo, que vamos a trabajar con una elipse, Dios no lo quiera).
Por lo tanto, dicho queda que trabajaremos con combinaciones entre puntos rectas y circunferencias para explorar este asunto y, puesto que un punto es adimensional y no forma ningún ángulo con nada, el siguiente caso (y, de hecho, el más fácil) es el ángulo formado por dos rectas.
En la siguiente imagen se muestran dos rectas en el plano. ¿Sabríais encontrar el ángulo que formar ambas entre sí?
¡Es evidente!, me diréis, gritando enfurecidamente, insultándome por haberos hecho una pregunta tan trivial.
Si, al menos, fueran un par de rectas en el espacio y hubiera que calcular su verdadera magnitud, me diréis, quizá el problema tenga algo de interés. Si, al menos, me diréis también, te estuviera dando un ictus, quizá tendría sentido que nos preguntases algo tan evidente.
Pero no nos volvamos locos tan rápido.
Por supuesto que el ángulo que forman dos rectas en el plano es trivial. De hecho, dos rectas en el plano forman DOS ángulos (como se muestra en la imagen siguiente), aunque se suele marcar el menor de ellos por convención.
Sin embargo, si ahora os pongo la siguiente imagen y os pregunto qué ángulo forman ambos elementos, es posible que volváis a tener la sensación de que me está dando un ictus.
¿Cómo van a formar un ángulo una recta y una circunferencia?
Pues bien, ahora quiero que prestéis toda vuestra atención porque vamos a utilizar el ejemplo del ángulo entre dos rectas para lograr deducir el ángulo entre una recta y una circunferencia.
Para empezar, tomaremos como punto de partido un concepto geométrico límite que es el hecho de que una recta es una circunferencia de radio infinito.
Espero que ahora no sea a vosotros a quienes se os haya parado el corazón al escuchar esto. Si tenéis alguna duda, fijaos en la siguiente imagen. Partimos de una circunferencia y, dejando un punto de la misma para que quede fijo (el punto A en la imagen) vamos haciendo que el radio sea más y más grande.
¿Hasta cuándo?
Hasta que el radio de la circunferencia sea infinito. De hecho, podemos notar que, a medida que el radio de la circunferencia es mayor, la curvatura de la misma es menor. Por lo tanto, al ser inversamente proporcionales, cuando el radio es máximo (infinito), l curvatura es mínima (cero, o sea que se trata de una recta).
¡Bien! Entendido el caso de que una recta no es más que una circunferencia (de radio infinito, sí, pero una circunferencia, al fin y al cabo), vamos a intentar juntar los dos conceptos (recta y circunferencia).
Si partimos de la imagen que teníamos antes para intentar averiguar el ángulo entre la recta y la circunferencia:
Y hacemos con la circunferencia lo mismo que hemos hecho con la circunferencia anterior (o sea, transformarla en una recta alargando el radio hasta infinito), de repente, nos encontramos con dos rectas.
¡Eureka!
Conseguido… O casi conseguido, si no fuera porque, en realidad, lo que tenemos es una circunferencia. Pero sí que notamos que estamos cerquita de conseguirlo, ¿verdad?
En realidad, sólo nos quedaría un pequeño detalle y es la razón del punto que hemos cogido para transformar la circunferencia en recta.
¿Por qué no hemos tomado un punto cualquiera de la circunferencia y hemos alargado el radio desde ahí?
Parece evidente que el punto en cuestión no puede ser cualquiera ya que estamos buscando un ángulo, ¿cierto? Y un ángulo entre dos rectas (digamos entre dos rectas, por el momento, por si es más fácil reducirlo hasta ese extremo) se mide en relación al punto de corte entre ambas rectas.
Por lo tanto, el punto de la circunferencia que se quedará fijo será el punto de corte entre la recta y la circunferencia.
Habiendo entendido este aspecto, y habiendo analizado cómo se puede transformar (idealmente) la circunferencia en recta, ya solamente nos queda por dar un salto imaginativo que consiste en preguntarnos: ¿qué es esa recta (la transformada) con respecto a la circunferencia original?
Si teniendo dos rectas todo es mucho más fácil, vamos a intentar convertir el problema de recta-circunferencia en uno de recta-recta y será todo coser y cantar.
¿Alguno de vosotros puede decirme entonces cómo podemos sacar fácilmente la recta (la circunferencia de radio infinito que pasa por el punto de corte con la otra recta)?
¿Alguno?
Seguro que todos estáis gritando al unísono una de las palabras más bonitas de nuestra lengua, así que os animo a que la gritemos todos juntos de nuevo: TANGENTE.
¡¡Exacto!!
Se trata de la recta tangente a la circunferencia por dicho punto.
Al final, a nivel procedimental, hemos reducido el problema a algo muy sencillo, pero, como siempre en geometría, lo importante son los conceptos y de ahí viene las vueltas que estamos dando para entenderlo todo.
En definitiva, el ángulo que forma una recta con una circunferencia es el ángulo que forma la recta con la recta tangente a la circunferencia por el punto de corte entre la recta y la circunferencia.
Notad, amigos geómetras, que hay dos ángulos posibles (igual que en el caso de las dos rectas), aunque, por convención, se suele coger el ángulo menor.
Por cierto, algunos de vosotros podréis decir: “¡pero hay otro punto de corte! Puede que el ángulo allí sea otro”. Tranquilizaos, pues, ya que el ángulo en el otro punto de corte es exactamente el mismo que en el primer punto de corte ya que se puede ver una simetría clara entre ambos.
Y, con esto, nos quedaría un caso final, el último y más complejo de todos que me gustaría poder llevaros de la mano para explorarlo juntos. Se trata del ángulo que forman dos circunferencias.
Si hemos llegado hasta aquí, ya sabemos que dos circunferencias pueden formar un ángulo (aunque hasta hace cinco minutos no supiéramos cómo). Ahora, con el misterio geométrico resuelto, no nos es arduo deducir que debemos realizar el mismo procedimiento que hemos hecho para el caso anterior.
Trazaremos las rectas tangentes a cada circunferencia en uno de sus puntos de corte y el ángulo que formen ambas tangentes será el ángulo que formen las dos circunferencias.
Antes de irnos, debemos centrar nuestra atención, como procuramos hacer siempre, en los casos más extremos y particulares de la angularidad. ¿Cuándo los ángulos que se forman entre dos elementos son particularísimos que generan situaciones extraordinariamente diferenciales?
Esos casos, por empezar por los más habituales, son en los que se forman ángulos de 0º y de 90º. Es decir, lo que se suele llamar tangente (0º) y ortogonal (90º).
Empezaremos por el caso más sencillo estudiado, que es el de dos rectas que se cortan. En el recurso de Geogebra que se tiene a continuación se puede manipular el ángulo que forman las dos rectas del enunciado con el deslizador que se muestra. Podemos ver que, para un ángulo de 0º, las dos rectas son la misma (evidente, diréis). Así como que, para el ángulo de 90º, las dos rectas son perpendiculares.
Un poco más allá, el Geogebra muestra cómo se ven las dos rectas con un ángulo de 180º, 270º y 360º, que ya sabemos de sobra que es equivalente a 0º.
A continuación, vemos, en el siguiente recurso de Geogebra, el ángulo entre una circunferencia y una recta.
Si colocamos el ángulo de 0º, vemos que la recta coincide con la recta tangente a la circunferencia; o sea, que, para un ángulo de 0º, la recta es tangente a la circunferencia. Así como, para un ángulo de 90º, vemos que la recta es normal a la circunferencia y pasa por el centro de la misma.
Por último, el Geogebra que sigue nos muestra el caso del ángulo entre dos circunferencias en el que, si emplazamos el ángulo de 0º, vemos que las dos circunferencias son tangentes. Del mismo modo, si colocamos un ángulo de 90º, vemos la situación que se denomina como circunferencias ortogonales (es decir, que la recta tangente a una circunferencia pasa por el centro de la otra circunferencia y viceversa).
Yendo un paso más lejos, emplazando 180º nos damos cuenta de que ambas circunferencias vuelven a ser tangentes, pero por el otro lado. Así como, para 270º, ambas circunferencias vuelven a ser ortogonales.
Amigos míos, maestros de la geometría, hemos llegado al final.
Pero ya sabéis que el final (de un artículo) nunca es el final de la geometría y volveremos a encontrarnos en próximas entradas, necesitando encontrar ángulos entre dos elementos diversos y circunferencias ortogonales para hallar cosas más complejas.
A más ver, queridos magos del dibujo, hechiceros pitagóricos, prestidigitadores de la geometría.
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