Eje radical (y centro radical)

 

 

 

Oh, Pitágoras, tú, grande entre los grandes, alúmbranos el camino en lo que vamos a descubrir hoy.

 

Estad preparados, pues hoy veremos uno de los lugares geométricos más importantes de toda la geometría métrica (sí, aquella que tiene que ver con la potencia; recordad una entrada anterior en la que ya hablamos de este maravilloso concepto que nos resuelve tantas y tantas cosas).

 

Pues bien, ¿qué es lo que vamos a ver hoy?

 

No es de extrañar que hayáis leído el título del post y os estéis preguntando “¿eje radical? ¿Qué será eso?”.

 

Vayamos un poco antes… Recordando el punto en el que empezamos a explicar la potencia.

 

 

¿Os acordáis de cuando hablamos de la distancia de un punto a una circunferencia? Llegamos a la conclusión de que distancias hay todas las que queramos y, de hecho, todas van a ser diferentes, pero hay una que es especialmente importante porque es una distancia media (en cuanto a media geométrica, recordad) y es lo que llamamos la potencia.

 

Entonces, con este grandioso conocimiento, ahora somos perfectamente capaces de encontrar la potencia desde un punto cualquiera del plano a una circunferencia. Es más, si os pidiera, Pitágoras no lo quiera, que me señaléis en lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia de la circunferencia que el punto P en la siguiente imagen, ¿sabríais hacerlo?

 

 

La solución, no es más compleja que una circunferencia de centro el centro de la circunferencia y de radio hasta P. ¿Pero esto por qué es? Debemos comprender las intrincadas explicaciones de la geometría si queremos dominarla seriamente.

 

Esto se debe a que, cualquier punto que cojamos de la circunferencia que hemos trazado, si nos atrevemos a calcular la potencia respecto de la circunferencia original, siempre nos va a salir la misma medida, o sea, la misma potencia. ¡Eureka!

 

Sabiendo encontrar varios puntos que tienen la misma potencia respecto de una circunferencia, ¿seríamos capaces de encontrar ahora un punto que tenga la misma potencia respecto de DOS circunferencias?

 

 

Aaaaaaaah, esto quizá no es tan evidente, ¿no es cierto?

 

Sin embargo, vamos a dejar que nos guíe el instinto visual, esa herramienta tan importante en el dibujo.

 

Teniendo dos circunferencias, ¿dónde puede encontrarse, según vuestra intuición, un punto que tenga la misma potencia de ambas?

 

No parece muy sensato que, como en la imagen siguiente, se coloque donde el punto A, ya que la potencia a una circunferencia es claramente mayor que a la otra. Y tampoco parece sensato que se coloque donde está B por el mismo motivo.

 

 

Parece inteligente pensar que el punto solución estará en algún lugar entre ambas circunferencias. Pero, si comprobamos el punto medio entre los centros de las circunferencias, vemos que tampoco que se cumple.

 

Algo que tiene todo el sentido del mundo ya que, aunque el punto esté a medio camino entre los dos centros, si las circunferencias tienen distinto radio (como es este caso), la potencia a cada una va a ser diferente.

 

Entonces… ¿cómo lo hacemos?

 

Sabemos que la potencia de un punto a una circunferencia es el segmento de tangencia desde dicho punto hasta la circunferencia (esto, como decíamos antes, ya lo justificamos en la entrada anterior en la que destripamos completamente el concepto de la potencia). Por lo tanto, si nosotros ahora hacemos el proceso inverso y, desde una circunferencia encontramos un punto cualquiera que tenga una potencia determinada respecto a la circunferencia, podemos empezar a pensar convenientemente.

 

En la imagen siguiente se muestran los pasos a llevar a cabo. Desde un punto cualquiera de una circunferencia, trazamos una recta tangente y, en esa recta, a una distancia de potencia que consideremos (W en la imagen) se encontrará el punto P.

 

 

¡Pero hay más! Recordad lo que hablábamos al inicio de esta misma entrada… ¿Somos capaces de encontrar el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de una circunferencia? Sí, ¿verdad? Y, de hecho, llegamos a la conclusión de que ese lugar geométrico es una circunferencia.

 

¡Bravo! Vamos por buen camino. Aguantad, amigos dibujantes, porque no nos queda mucho.

 

Si ahora hacemos lo mismo, con la misma potencia, respecto de la otra circunferencia, obtenemos otro lugar geométrico que cumple la misma condición, pero con la otra circunferencia. Y, allá donde se corten ambas circunferencias, serán puntos que estén a una potencia W de una circunferencia y una potencia W de la otra circunferencia. Al ser W la misma para ambas circunferencias, podemos decir con honra e hinchando el pecho de alegría, que ya hemos encontrado dos puntos que están a la misma potencia de las DOS circunferencias.

 

 

¿Pero cómo que dos puntos? ¿No habíamos dicho uno? ¿Es que hay más de uno?

 

Sí, amigos míos, hay muchos más de uno. De hecho, hay infinitos puntos. Y todos ellos cumplen la condición de estar en una línea recta que es perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.

 

Si unimos los dos puntos que hemos encontrado previamente, descubrimos el lugar geométrico que estábamos buscando: contemplad el EJE RADICAL, el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de DOS circunferencias.

 

Esta forma de obtener el eje radical no es la única, por supuesto, pero quiero detenerme en analizar lo que hemos hecho, ya que hemos empleado un concepto que también estudiamos en una entrada anterior: el de las circunferencias ortogonales.

 

Todo el proceso que hemos llevado a cabo, desde el principio, se ha basado en encontrar centros de circunferencias ortogonales a una de las circunferencias y, por lo tanto, el eje radical también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias ortogonales a DOS circunferencias.

 

En el siguiente Geogebra tenéis el modelo interactivo para comprobarlo. Pongáis donde pongáis el centro de la circunferencia, al trazar la circunferencia ortogonal a una de las circunferencias originales, también va a serlo a la otra.

 

 

No es esta la única manera de encontrar el eje radical (y hay quien argumentaría que tampoco es la más sencilla). Así que vamos a ver otro método para hacerlo, partiendo de nuevo de la definición del eje radical.

 

Si estamos buscando un punto que tenga la misma potencia de ambas circunferencias y sabemos que la potencia es el segmento de tangencia, entonces, si tomamos una recta tangente a ambas circunferencias, el punto medio entre los puntos de tangencia, es un punto que está a la misma distancia de tangencia de las dos… O sea, que tiene la misma potencia de las dos. ¡Bravo de nuevo!

 

Y, como hemos visto, conociendo un punto que cumple la condición y está en el eje radical, podemos encontrar el eje radical puesto que este siempre va a ser perpendicular a la línea que une los centros de las circunferencias.

 

 

¡No os vayáis aún, queridos geómetras, porque nos queda aún un método bien interesante (y quizá el más sencillo de todos para encontrar el eje radical)!

 

Pero antes debo comentaros un par de casos particulares en los que encontrar el eje radical es en extremo sencillo.

 

El primero de ellos es el de dos circunferencias secantes. Si dos circunferencias se cortan, los puntos de corte tienen la misma potencia respecto de una que respecto de la otra, y esa potencia es cero, ¿verdad?, puesto que los puntos están en las circunferencias. Ya sea cero o tenga el valor que sea, mientras sea la misma la potencia para ambas, esos puntos están en el eje radical. Lo que se resume en: si dos circunferencias se cortan, el eje radical resulta de unir los puntos de corte entre ambas.

 

 

El otro caso es el de dos circunferencias tangentes. Estas dos se cortan en un solo punto en lugar de hacerlo en dos. ¿Qué ocurre con este punto? Al igual que en el caso anterior, si es un punto que está en ambas circunferencias, entonces su potencia con respecto a las dos será cero y será la misma. Y, como es la misma, ese es un punto del eje radical. Ya sólo tendríamos que aplicar nuestro saber en la materia y describir que el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros.

 

 

Pues bien, habiendo visto estos dos casos extremos (y extremadamente sencillos), podemos deducir que ojalá tuviéramos siempre estos casos en los que las circunferencias se cortan, ¿verdad?

 

Bueno… Quizá no estemos muy lejos de conseguirlo porque el último método que veremos hoy se va a basar en esto precisamente.

 

Si, teniendo dos circunferencias que no se tocan, trazamos una tercera, auxiliar, que corta con ambas, podemos encontrar un par de ejes radicales (auxiliares, uno para cada circunferencia con la auxiliar).

 

 

De este modo, los puntos del eje radical auxiliar 1 tienen la misma potencia de c1 y de la circunferencia auxiliar y los puntos del eje radical auxiliar 2 tienen la misma potencia de c2 de la circunferencia auxiliar.

 

Lo que significa que, el punto donde se corten los dos ejes radicales auxiliares cumplirá ambas condiciones. Es decir, será un punto que tenga la misma potencia de c1, de c2 y de la circunferencia auxiliar. La circunferencia auxiliar es, como su propio nombre indica, auxiliar, así que, ahora mismo, nos importa bien poco, pero lo que sí es relevante es que el punto tiene la misma potencia con respecto a las dos circunferencias originales. ¡¡O sea que es un punto del eje radical!!

 

Aplicando lo que sabemos ya de sobra del eje radical, podemos encontrarlo sin ninguna dificultad.

 

A continuación, os muestro el portal para entrever el conocimiento ejerradicalista con este Geogebra en el que podréis manejar los tres métodos estudiados y ver cómo funciona el eje radical con las distintas posiciones de las circunferencias.

 

 

 

No quisiera despedirme sin comentar un asuntillo que no es menor: ¿existe algún punto, entonces, que tenga la misma potencia respecto de tres circunferencias?

 

Aaaaaah, ¡qué buena pregunta!

 

La respuesta es sí y está delante de nuestras narices.

 

Si tenemos tres circunferencias, un punto que tenga la misma potencia de las tres debe pertenecer a los ejes radicales de cada par de circunferencias, ¿verdad? (De hecho, esa es la lógica que hemos usado al desentrañar el último de los métodos de obtención del eje radical).

 

Por lo tanto, donde se corten dos ejes radicales, ya podemos decir que ese será el CENTRO RADICAL: el punto que tiene la misma potencia respecto a tres circunferencias. O lo que es lo mismo: el centro de la circunferencia ortogonal a tres circunferencias.

 

Me despido, ahora sí, con este presente, este recurso de Geogebra para la obtención del centro radical entre tres circunferencias.

 

 

 

Ya no tengo ninguna duda de que volveremos a encontrarnos en la selva de la geometría métrica… ¿O será en la de la proyectiva?