La geometría plana ha muerto. ¡Larga vida a la geometría!
Queridos amigos, maestros y aprendices, hoy vamos a dar un paso más hacia lo desconocido y no solamente vamos a acercarnos al abismo, sino que, además, vamos a lanzarnos a él.
El mundo tridimensional llama a nuestras puertas y nuestro deber consiste quitarlas de los goznes si no queremos que el gran vendaval de la geometría descriptiva las arranque de cuajo.
Todos conocéis lo que es un objeto en tres dimensiones e, intuitivamente, todos conocéis también que es posible dibujar ese objeto en dos dimensiones (es decir, en una hoja de papel). Pero ¿cómo es posible? ¿¡Qué clase de magia es esta!? Y, casi más importante: ¿cómo podemos hacerlo de tal manera que siempre sea igual y así podamos entendernos entre todos?
Las respuestas a estas preguntas las tenemos en los conceptos de la geometría proyectiva.
Tomemos que nosotros tenemos algo tridimensional (vamos a decir nuestra mano; nuestra mano, al fin y al cabo, es un cuerpo en tres dimensiones) y pongamos también que la alumbramos con una linterna (vamos a decir nuestro propio teléfono móvil). Pues bien, si colocamos la mano sobre una mesa, a cierta distancia de ella, con la linterna alumbrando a la mano y hacia la mesa, podremos ver que la mano genera una sombra en la mesa, ¿no es cierto? Y dicha sombra es una figura en dos dimensiones.
¡Eureka! Hemos encontrado el fundamento que hace posible toda la representación espacial de los sistemas de representación.
Vamos ahora a definir un poco mejor el concepto de proyección y la geometría proyectiva, aunque no se debe olvidar que el símil de la luz alumbrando y creando una sombra es la imagen mental en la que nos estamos basando.
Digamos que la linterna se llama centro proyectivo, que es del punto de donde salen los rayos de luz (que llamaremos rayos proyectivos). Dichos rayos impactan en cualquier cosa que encuentren a su paso y chocan sobre un plano (la mesa, que llamaremos plano de proyección) generando una sombra (que llamaremos proyección) en el lugar donde los rayos proyectivos seccionan con el plano.
Y, de momento, los principios elementales de la geometría proyectiva los tenemos establecidos. El mundo proyectivo es enormemente inspirador y fructífero, pero indagar en dichos asuntos se escapa del tema que nos atañe hoy.
Toca ahora establecer los tipos de proyección que existen. Es decir, no imaginaríais que la linterna de vuestro móvil, en la posición que la habíais colocado, era la única posición válida, ¿verdad?
¡Evidentemente que no lo pensabais! ¿Quién soy yo para dudar de vuestra capacidad de análisis espacial? Por favor, pido disculpas y, mientras espero vuestro perdón, pasaré a enumerar los distintos tipos de proyección.
Por un lado, tenemos la nombrada como proyección cónica, que es la aquella que se asemeja a la linterna del ejemplo con el que estamos trabajando. Dicha linterna (centro proyectivo) se puede mover libremente y situarse en cualquier punto del espacio, lo que hará que la sombra (proyección) de cualquier punto sobre la mesa (plano de proyección) varíe.
Un detalle importantísimo de este tipo de proyección es que, si, en lugar de tener un punto, tenemos dos (que forman un segmento) y los proyectamos cónicamente desde el centro proyectivo, las proporciones no se van a mantener. Esto ha de tenerse en cuenta en todo momento para no caer en las trampas de la geometría proyectiva. Es decir, si, por ejemplo, como se puede ver en el siguiente dibujo, queremos proyectar, además, el punto medio del segmento, su proyección no se encuentra en el punto medio del segmento proyectado.
¡Pero que no os inunde el pánico pensando que ya no podréis aplicar Tales nunca más! Porque, además de la proyección cónica, tenemos otro tipo de proyección que se llama proyección cilíndrica.
Si alejáis vuestro teléfono móvil de la mano seguro que empezaréis a notar que la sombra de vuestra propia mano se va pareciendo más a vuestra mano. La sombra deformada y alargada que generaba la linterna se va relajando y da lugar a unas líneas que recuerdan más a vuestra propia mano.
Sin embargo, todo tiene un límite: en este caso, vuestro brazo. No podéis alejar la linterna del móvil mucho más allá de la longitud de vuestra propia extremidad corporal y, aunque colocarais el móvil en el techo de vuestra habitación, tampoco sería tan grande la distancia.
Pues bien, ahora quiero que vislumbréis, oh, vosotros, los artistas, los creadores, los imaginadores, el punto más alejado al que podemos llevar la linterna (el centro proyectivo). Más alejado todavía que el Sol, el centro de la Vía Láctea o incluso el otro extremo del universo.
¿Podéis imaginar un punto tan alejado? Efectivamente, lo habéis encontrado: se trata del infinito.
Por lo tanto, la proyección cilíndrica se basa en una proyección desde un centro que está en el infinito, lo que hace que los rayos proyectivos vayan a ser paralelos entre ellos.
Y ahora os revelaré que existen dos tipos de proyecciones cilíndricas.
Empecemos por la proyección cilíndrica ortogonal, en la que los rayos proyectivos se proyectan ortogonalmente al plano de proyección. Es decir, que el centro está en el infinito, sí, pero no en cualquier parte, sino en el infinito al que se llega en perpendicular al plano de proyección.
Este tipo de proyección es particularísima porque, además, como vemos en el siguiente dibujo, la proyección del punto medio de un segmento, ¡sí es el punto medio del segmento proyectado!
Y, mientras celebramos la llegada de nuestro señor Tales, os enuncio el otro tipo de proyección cilíndrica, que es la proyección cilíndrica oblicua. Esta se basa en que el centro proyectivo sigue estando en el infinito, pero ahora se encuentra en un infinito que no es perpendicular al plano de proyección, sino que es oblicuo a él y, por tanto, debemos conocer el ángulo de inclinación que tiene la dirección de los rayos proyectivos.
De nuevo, al ser una proyección cilíndrica, la proyección del punto medio de un segmento es el punto medio de la proyección de dicho segmento.
Gloria a Tales.
A continuación, tenéis a vuestra disposición un recurso de Geogebra en el que podéis comprobar todos los tipos de proyecciones, manipulando los elementos a vuestro placer.
Conociendo ya los principios generales de la proyección y los tipos de proyección existentes, debemos dar un paso más para explicar qué es la geometría descriptiva.
Dicha geometría es aquella que trata de describir la realidad. Es decir, la que toma como propia la pregunta que nos hacíamos antes: ¿cómo podemos dibujar una realidad 3D en un espacio 2D como una hoja de papel?
Y, aplicando estos conceptos descriptivos y este interés en responder dicha pregunta, a lo largo de la historia se han creado los sistemas de representación, normas sistematizadas, lenguajes gráficos, que responden la pregunta de la geometría descriptiva y permiten representar en dos dimensiones algo que tiene tres dimensiones.
Así que vamos a enumerar los tipos de sistemas de representación existentes, enlazándolos con el tipo de proyección del que hacen uso.
Comenzamos por el sistema cónico (o perspectiva cónica). Este sistema es el único que se basa en la proyección cónica y, como se puede ver, estudiar, analizar e incluso manipular, en el recurso de Geogebra a continuación, manipulando el centro de proyección V, así como los propios puntos A y B en el espacio, la proyección sobre el plano de proyección se altera notablemente, dando lugar a dos acontecimientos de relevantísima importancia: el primero de ellos ya lo enunciamos y es que las proporciones no se mantienen de la forma en la que esperamos que se mantengan; y el segundo es que las líneas que son paralelas en el espacio, no lo van a ser en el dibujo.
¡Pero no nos preocupemos aún! El sistema cónico es truculento y puede parecer oscuro, pero en artículos posteriores de este blog lo desentrañaremos juntos para conocer las bellezas que esconde.
La proyección cilíndrica, por el contrario, nos da una mayor variedad de sistemas de representación.
El sistema diédrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal, pero con la particularidad de que no estamos proyectando sobre un plano de proyección, sino sobre dos (de hecho, el prefijo di- significa dos). Por lo tanto, como vemos a continuación, proyectamos cilíndrica ortogonalmente sobre un plano y luego sobre otro y tenemos dos vistas diferentes de un mismo objeto. Es significativo que, para poder ver las dos proyecciones en un mismo plano tenemos que realizar un abatimiento, como se puede ver en el Geogebra, al girar el plano horizontal sobre la pared vertical y poder tenerlos uno debajo del otro en el mismo plano.
El sistema axonométrico también se basa en la proyección cilíndrica ortogonal, pero, en este caso, el plano de proyección no son los propios planos de referencia del sistema, sino que está oblicuo a ellos, pero, eso sí, los rayos proyectivos son perpendiculares al plano de proyección (que para eso se trata de una proyección ortogonal).
Perdonadme ahora ya que voy a hacer un inciso y voy a introducir la perspectiva caballera, un sistema de representación basado en la proyección cilíndrica oblicua que, como vemos, es particularmente útil cuando el plano de proyección es paralelo a uno de los planos de referencia. Si, en este caso, usásemos una proyección cilíndrica ortogonal, al final lo que obtendríamos sería una proyección diédrica y el dibujo sería tremendamente confuso.
Y, por último, vamos a introducir un sistema que se basa también en la proyección cilíndrica ortogonal como es el sistema de planos acotados.
De hecho, a este sistema le vamos a dedicar algo más de atención.
Para empezar, en este sistema solamente tenemos un plano de proyección y proyectamos cilíndrica ortogonalmente hacia él. Por lo tanto, un punto quedaría proyectado como se muestra en la siguiente imagen.
Ahora queda la duda de que, con esa proyección, nosotros podemos saber la posición del punto, pero nos queda algo por determinar. ¿Podéis saber lo que es?
¡Efectivamente! La altura. No sabemos la distancia a la que está el punto respecto del plano de proyección. Es decir, que es un sistema indeterminado ya que ese punto podría encontrarse en esa posición a cualquier distancia.
Lo que vamos a hacer para solventarlo es colocar, al lado de la proyección de cada punto, entre paréntesis, la altura numérica (a la que llamaremos cota) de dicho punto.
¡Ahora sí que está definido el punto!
El siguiente paso es una recta que, como sabemos, se define por dos puntos.
Si tenemos los puntos definidos con sus cotas y hacemos la recta que pertenece a ambos, ¿cómo podemos encontrar la verdadera magnitud (tanto en distancia como en ángulo) de dicha recta? Si la estamos viendo proyectada, es decir, desde arriba, no podemos saber, por ejemplo, la altura y la inclinación que esta coje.
Pues bien, aquí tenéis un recurso de Geogebra que debéis tratar con mucho cuidado, estudiando cada paso para comprender, sin que os perdáis en el limbo descriptivo, el funcionamiento de los abatimientos en el sistema de planos acotados.
Por último, vamos a realizar un ejercicio en planos acotados para poder profundizar más en este maravilloso sistema de representación.
El enunciado dice lo siguiente: “Teniendo el plano formado por A, B y C en el sistema de planos acotados, y dando la proyección del punto P, ¿qué cota debe tener dicho punto para que pertenezca al plano?”.
El ejercicio está claramente relacionado con pertenencias y, a continuación, tenéis un recurso de Geogebra que podréis trabajar, estudiar y toquetear para indagar en los misterios del problema y entender coherentemente el funcionamiento de los planos acotados.
En primer lugar, para sacar el plano que contiene al triángulo, podemos abatir dos de sus rectas (como ya hemos visto antes) y encontrar sus puntos de cota cero (es decir, lo que llamaremos sus trazas H).
Se suele usar la letra H porque el plano de proyección en planos acotados suele ser el plano horizontal (el suelo) y, por lo tanto, en un alarde de originalidad, se ha llamado al punto que está en el plano horizontal como H (ya que horizontal empieza por dicha letra). No nos vamos a quejar tampoco ya que el dibujo tiene suficientes confusiones como para añadir más al carro.
Una vez que tenemos la traza del plano, esta nos va a servir para hacer una recta paralela a cualquiera de las otras y aprovechar el punto donde corta en la traza del plano (que será la traza de la recta paralela) y poder hacer una paralela a la recta abatida para encontrar la cota que nos pide el ejercicio.
Pues bien, ¡ejercicio resuelto! Con los fundamentos del sistema de planos acotados, únicamente viendo la figura en planta y con las cotas necesarias, hemos podido comprender y encontrar qué altura debe tener un punto determinando para pertenecer al plano original.
Y, dicho esto, amigos de la geometría, me despido hasta próximos encuentros. Quizá nos crucemos navegando los vastos océanos de la geometría proyectiva o del sistema diédrico. O quizá nos crucemos en la selva del sistema cónico. En cualquier caso, nuestros faros de guía (Pitágoras y Tales) brillan con mucha más intensidad y sabed que solamente tenéis que dirigir vuestros pasos hacia ellos para encontrar el camino.
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