¿Línea de tierra?

Queridos amantes de la geometría, ¡hoy volvemos a las tres dimensiones!

 

Vamos a explorar un aspecto del sistema diédrico que es de vital importancia para vuestro entendimiento espacial y en el que, quizás, varios de vosotros encontréis cierta dificultad.

 

El problema que vamos a tratar es el de recta perpendicular a un plano en el sistema diédrico.

 

¿Fácil, diréis?

 

Sí, no me cabe ninguna duda. Sin embargo, lo vamos a trabajar tanto con línea de tierra como sin ella y vamos a ver las diferencias entre ambas opciones para terminar entendiendo (o ese es el ideal de esta entrada) que, en realidad, estamos haciendo exactamente lo mismo.

 

En primer lugar, si nosotros tenemos un segmento AB en diédrico, lo vamos a ver así:

 

 

¡Perfecto! Todos somos capaces de entender las dos proyecciones y el abatimiento que las hace posible (tenéis a vuestra disposición una sesuda entrada previa del blog en el que se habla de la proyección en el sistema diédrico).

 

Peeeeeero ¿qué ocurre si os pongo esta imagen que sigue?

 

 

¿Alguno tendría problema en distinguir qué es lo que ocurre? No lo creo, ¿verdad? Siguen siendo los mismos puntos A y B y, de hecho, colocados en el mismo lugar. El segmento AB tiene la misma medida y la misma inclinación que en la imagen anterior. Entonces, ¿cuál es el problema? Ninguno. La verdad es que no hay ningún problema, ¿no es cierto?

 

Se entiende sin ningún género de duda que el segmento AB se trata de las proyecciones que se han mostrado en la imagen anterior.

 

Ahhhh, la línea de tierra, estaréis pensando.

 

Sí, efectivamente… Vaya, la línea de tierra ha desaparecido.

 

Pero, como podéis comprobar en el siguiente Geogebra que dejo a vuestra absoluta disposición, la línea de tierra significa exactamente lo que significa: es un indicador del sistema de referencia. Ni más ni menos.

 

En este Geogebra podéis manipular los puntos rosas (H es para desplazar el plano horizontal y V, el plano vertical). Y podéis controlar cómo varía la existencia o no de la línea de tierra en el sistema diédrico.

 

 

Como se trata de proyección cilíndrica y ortogonal, lo único que va a cambiar es la distancia entre una proyección y otra, pero la forma entre los elementos de una misma proyección va a resultar invariable.

 

Pues ya hemos comprobado que la línea de tierra tampoco es ningún elemento imprescindible para dibujar en diédrico puesto que, hemos experimentado con nuestros propios dedos en el Geogebra que, incluso quitándola, ¡vaya!, el diédrico no desaparece, sino que sigue exactamente igual.

 

¿Exactamente?

 

Quizá “exactamente” no sea la palabra más adecuada.

 

Porque, una vez superadas las náuseas del terror post-quitarlalíneadetierra, debo advertiros que, en verdad, lo único para lo que sí usamos la línea de tierra (y, de hecho, nos viene muy útil) es para dibujar las trazas de los planos.

 

Es decir, que, sin línea de tierra, ¿no podemos dibujar planos?

 

¡Nada más lejos de la verdad! Por supuesto que podemos dibujar planos… Pero no podremos dibujar las trazas de los planos como estamos acostumbrados y tendremos que entender los planos de otra manera (quizá un poquito más abstracta, o quizá, simplemente, algo diferente y ya).

 

En la siguiente imagen, vemos un plano en una representación 3D y cómo se representa por sus trazas en el sistema diédrico de Monge (aclaración: “diédrico de Monge” se refiere al diédrico con línea de tierra; “diédrico directo”, el diédrico sin línea de tierra).

 

 

Y, sin línea de tierra, ¿cómo demonios vamos a hacer esas trazas? Gaspard Monge no estaría orgulloso de nuestra inventiva. Pensad, pensad, dibujantes del futuro. Atreveos a escudriñar más allá en la visión espacial y en lo que significa la proyección cilíndrica ortogonal. Y, sobre todo, en lo que significa un plano.

 

Porque de sobra sabemos que podemos dibujar un plano de muchas formas (seguramente, las más conocidas sean por tres puntos, por dos rectas secantes, por dos rectas paralelas y por una recta y un punto). Lo sabemos sin titubear. Sin embargo, ¿sabemos de verdad lo que significa?

 

Si tenemos tres puntos en el diédrico de Monge, trazamos las rectas que los unen, obtenemos las trazas de las rectas y eso nos dan las trazas del plano.

 

 

Importantísimo es que la traza horizontal y la traza vertical del plano se tienen que cortar en el mismo punto de la línea de tierra.

 

¡Estupendo!

 

Y, si no hay línea de tierra, ¿qué?

 

Si no hay línea de tierra, con quedarnos con el paso previo (dos rectas secantes, por ejemplo, o tres puntos, ya tenemos el plano definido).

 

Soy consciente de que este paso supone un nivel de abstracción mayor, pero por eso estamos aquí estrujando nuestro cerebro aún más. Queremos llegar a entender profundamente lo que significa la espacialidad, la visión espacial, la geometría y el dibujo. Y debemos superar aquellas barreras que se nos pongan delante de nosotros.

 

Así que ¡adelante guerreros de la geometría! ¡La confianza en vosotros es máxima para superar esta barrera del entendimiento visual!

 

De este modo, en diédrico directo, tendremos un plano definido, por ejemplo, como esta imagen a continuación:

 

 

Y ya no nos debe hacer falta calcular las trazas del plano porque nuestro nivel de abstracción ha alcanzado suficientes cotas como para ver (y entender espacialmente) ese plano que forma el triángulo.

 

 

Lo que nos queda por hacer en esta entrada antes de despedirnos es resolver un ejercicio clásico para el que seguro que muchos de vosotros estáis acostumbrados a usar las trazas del plano. El ejercicio en cuestión es: encontrar una recta perpendicular a un plano dado.

 

Así que empezaremos por cómo lo resolvemos en diédrico de Monge para ver cómo transicionar al diédrico directo.

 

En el siguiente Geogebra podemos ver la resolución del ejercicio con las trazas del plano. En el modelo 3D comprobamos que, efectivamente, la proyección horizontal de la recta perpendicular se ve perpendicular a la traza horizontal del plano. Y, del mismo modo, la proyección vertical de la recta perpendicular se ve perpendicular a la traza vertical del plano.

 

 

Por lo tanto, para construir la recta perpendicular, lo hemos basado todo en el hecho de tener las trazas del plano y hacer las proyecciones de la recta de tal modo que sean perpendiculares a las trazas del plano, ¿no es así?

 

Entonces, sin las trazas del plano, ¿qué diablos vamos a hacer?

 

Pues bien, seguid conmigo un poco más y lo resolveremos antes de que Monge pueda decir “línea de tierra”.

 

Como vemos en el siguiente Geogebra, una recta horizontal del plano siempre va a tener su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. Así, una recta frontal del plano siempre va a tener su proyección vertical paralela a la traza vertical del plano.

 

 

Lo que significa que, si obtenemos una recta horizontal, ya sabemos que su proyección horizontal es paralela a la traza horizontal del plano y, como nosotros lo que queremos es la dirección de esa traza horizontal del plano y la posición exacta nos da igual (porque sólo queremos hacer una línea que sea perpendicular a ella), entonces obteniendo una recta horizontal del plano, tenemos parte del ejercicio resuelto.

 

¿Y cómo obtenemos una recta horizontal del plano si no tenemos un plano?

 

Recordad que plano sí que tenemos; lo que no tenemos son las trazas.

 

De este modo, como podéis ver en el siguiente Geogebra, por pura pertenencia de puntos en rectas, podemos obtener rectas horizontales del plano que definen los tres puntos.

 

 

¿Qué nos queda a continuación? Porque ya casi estamos terminando.

 

Lo que nos falta por alcanzar es el último paso (ya razonado, pero quizá no interiorizado hasta este preciso momento) de que, si tenemos la proyección horizontal de la una recta horizontal del plano, podemos hacer una línea perpendicular a ella y esa será la proyección horizontal de la recta perpendicular buscada.

 

La proyección vertical seguro que muchos de vosotros (si no todos) ya lo habréis averiguado.

 

¡Sí, eso es! Debemos hacer lo mismo que hemos hecho, pero esta vez con una recta frontal del plano.

 

Para tenerlo todo junto, aquí os obsequio con un último recurso de Geogebra, en el que podréis repasar y entender todo lo visto en este mundo del diédrico directo (y el cálculo de la recta normal a un plano).

 

 

Puede parecer complejo el diédrico directo, pero, a la postre, os resultará más simplificado y sin tantas líneas que trazar. Y recordad, amigos, tanto en el dibujo como en la vida, simplificar los problemas es algo enormemente valioso.