Si recordáis lo que es la potencia (e hicimos una entrada
anterior sobre ello en este blog), amigos míos, no vais a tener ningún problema
en comprender la INVERSIÓN.
Así que, oficialmente, os doy la bienvenida al mundo inverso, aquel en el que una cosa y la otra están separadas por la barrera de una raíz de k.
¿Pero qué es eso de la inversión?
Acabo de decir que tiene que ver con la potencia y, sin embargo, si recordáis de otra entrada del blog en la que hablamos de las transformaciones geométricas, también dijimos que era una transformación geométrica (anamórfica, exactamente). ¿Entonces qué será eso de la inversión?
Efectivamente, la inversión es una transformación geométrica; o sea, que transforma una geometría de cualquier tipo en otra. Es anamórfica y, por lo tanto, la forma de la figura original no es la misma que la de la figura final. Además, también es una transformación involutiva, que quiere decir que, si un punto se encuentra en el inverso de otro, el inverso del primero es ese otro punto (parece un trabalenguas, pero lo veremos con calma más adelante). Es también una transformación central, puesto que todo parte de un centro y, quizá lo más importante para nosotros, es que es una transformación CONFORME. ¿Y eso qué es? ¿Que tenemos que “conformarnos” con ella? Pues no exactamente, pero, de nuevo, lo explicaremos a medida que vayamos indagando en ella.
Antes de continuar, querría aclarar un asunto en el que grandes geómetras se han perdido por el camino de la inversión y es el tema de su utilidad. No perdáis de vista, a medida que vayamos destripando las relaciones matemáticas entre los elementos, que esta transformación tiene una aplicación utilísima de la que vamos a echar mano en numerosas ocasiones.
Sin más que añadir, porque lo desentrañaremos más adelante, solamente voy a decir una palabra en relación a su utilidad: tangencias.
¡Y, con esto, entramos en el mundo inverso! Cruzamos el umbral y debemos comenzar diciendo que, efectivamente, la inversión transforma una figura en otra. ¿En base a qué? Pues en base a la potencia.
Es decir, si partimos de la idea de potencia, que tantas veces hemos visto, de un punto a una circunferencia, llegamos a la conclusión, gracia al concepto de rectas antiparalelas, de que dos puntos de una misma circunferencia, alineados con un punto exterior, mantienen la misma potencia, puesto que el producto de distancias (o sea, lo que es la potencia) permanece constante.
Es más, si encontramos el punto de tangencia podemos conocer esa distancia de potencia tan ansiada y, de hecho, al ser la misma desde el punto P, eso nos crea, por fuerza, una circunferencia de centro en P y radio la distancia de potencia. Una circunferencia que vamos a llamar circunferencia fundamental de la inversión.
Ya os hacéis una idea de lo importante que es esta circunferencia y la estamos llamando, directamente, “fundamental”.
Vamos a hacer unos pequeños cambios: al punto P lo vamos a llamar I (porque va a ser nuestro centro de inversión); al punto B lo llamamos A’; al A1 lo llamamos B; y al B1 lo llamamos B’. ¿Para qué? Para poder relacionar un punto con su inverso.
De esta forma, A y A’ son puntos inversos en la inversión definida por el centro I y la circunferencia fundamental cf. Así como también lo son B y B’.
Por lo tanto, si ahora tenemos un punto C y quisiéramos obtener su inverso, ¿qué podríamos hacer?
Si sabemos que la inversión es una transformación que usa la idea de potencia, y que el producto IC·IC’ tiene que ser igual a IA·IA’, eso significa que la circunferencia fundamental que transforma A en A’ es la misma que la que va a transformar C en C’.
Por lo tanto, aplicando lo que sabemos de potencia, tenemos que hacer un simple teorema del cateto para poder averiguar dónde se encuentra C’.
¡Ya sabemos obtener puntos inversos! ¡Eureka! El primer paso para dominar la inversión.
Por cierto, aquí va otro consejo geométrico de cómo poder calcular el punto inverso de otro conociendo un par de puntos inversos.
Si tenemos I, A, A’ y C y se quiere calcular C’, aparte de lo ya visto, otra forma de hacerlo es sabiendo que dos pares de puntos inversos van a ser concíclicos (es decir, que pertenecen a la misma circunferencia), algo que ya sabíamos porque hemos partido de esa idea. Si hacemos la circunferencia que pasa por A, A’ y C, sabemos que C’ va a estar también en esa circunferencia.
A continuación, vamos a dar un paso más allá de los simples puntos y vamos a trabajar en cómo invertir rectas y circunferencias.
Si tenemos un sistema de inversión (definido por I y una circunferencia fundamental), y tenemos una recta que pasa por I, podemos comprobar que, como la inversión es una transformación central, todos los puntos y sus inversos van a estar alineados con I y, por lo tanto, el lugar geométrico de los puntos inversos de una recta que pasa por el centro de inversión es la misma recta.
Por otro lado, si en lugar de pasar por I, tenemos una recta cualquiera que no pasa por el centro de inversión, como en el siguiente ejemplo:
Es ridículo intentar invertir todos los puntos de la recta porque tiene infinitos puntos, pero vamos a invertir algunos de ellos para sacar ciertas conclusiones.
Si invertimos el punto de la recta más cercano a I, que llamamos A, es decir, el punto que se encuentra en la perpendicular a r por I. Eso nos da A’. Y si a continuación tomamos otro punto B cualquiera de la recta y lo invertimos para obtener B’, podemos ver que, como ya indicamos antes, A, A’, B y B’ son puntos concíclicos y, por el concepto de rectas antiparalelas, si AA’ y AB son perpendiculares, A’B’ y BB’ también van a serlo (porque A’B es un diámetro de la circunferencia).
Lo que significa que, si el ángulo A’B’B es recto, el ángulo suplementario IB’A’ también lo es. Y eso nos lleva a que es un arco capaz de 90 grados, es decir: una semicircunferencia.
Lo único que nos queda es dar un salto y deducir que, si esto sucede en la semirrecta desde A hasta el infinito hacia arriba, va a suceder también en la semirrecta que va hacia abajo.
Como podemos ver en el Geogebra siguiente, si desplazamos el punto B a lo largo de la recta r (o si presionamos el botón de play en la esquina inferior izquierda), el lugar geométrico de los puntos inversos de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión.
Pasemos ahora al siguiente punto… ¿Qué ocurriría si, en lugar de tener una recta, tenemos una circunferencia?
El primer caso que se nos puede venir a la mente es muy sencillo: una circunferencia que pasa por el centro de inversión. Y no nos debería costar más de unos segundos deducir la solución.
Puesto que la inversión es una transformación involutiva, si la inversa de una recta que no pasa por I es una circunferencia que pasa por I (el caso anterior), entonces la inversa de una circunferencia que pasa por I es una recta que no pasa por I.
Pero el caso más complejo, quizás, es el de una circunferencia que no pasa por I.
En este caso, su inversa es otra circunferencia que tampoco pasa por I y que, además, es homotética con la primera. ¿Pero por qué es esto? Ya que, si somos buenos geómetras, debemos preguntarnos siempre el porqué de las cosas del dibujo.
Si tenemos dos circunferencias y el centro de homotecia que las relaciona, podemos ver que, trazando la recta tangente a ambas y una recta secante, se cumple que el producto de distancias se mantiene constante. Es decir, que la potencia es la misma y, por lo tanto, una circunferencia es inversa de la otra.
Habiendo visto ya lo que es la inversión, cómo se invierten punto, cómo se invierten rectas y circunferencias, ha llegado el momento de entender para qué sirve realmente la inversión.
La aplicación más directa es el cálculo de tangencias.
Hay casos de tangencias que son tan complejos que la simple aplicación de la idea de potencia no es suficiente y necesitamos hacerlos más sencillos para poder resolverlos.
Es ese “hacerlos más sencillos” en lo que nos va a ayudar la inversión.
Ya hemos visto que, por ejemplo, una circunferencia puede invertirse en una recta en determinadas circunstancias. Por lo tanto, si conseguimos hacerlo, siempre va a ser más fácil trabajar con una recta que con una circunferencia.
¿No es maravilloso?
¡La inversión acude a nuestro rescate para hacernos la vida (y la resolución de problemas de tangencias) mucho más sencilla!
Para explicar su utilidad práctica, vamos a trabajar con un ejemplo concreto: encontrar las circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto.
Para este caso no tenemos forma de aplicar la potencia exclusivamente y resolverlo como si fuera un problema fundamental de tangencias.
Es mucho más complejo que eso… ¿Qué podemos hacer entonces?
En este problema tenemos diferentes opciones de resolución dependiendo de la posición relativa de las circunferencias.
Es decir, los dos casos posibles son: si las circunferencias se cortan y si no se cortan.
En el primero de los casos, si las circunferencias se cortan:
Podemos hacer dos cosas.
La idea es simplificar, que es la utilidad más significativa que podemos aprovechar de la inversión. Y, habiendo visto lo que hemos visto, simplificar se traduce, en la medida de lo posible, en transformar circunferencias en rectas.
De esta forma, vamos a tener que pensar. ¡Ánimo, compañeros, hagamos que Apolonio se sienta orgulloso de nosotros!
¿Dónde vamos a tener que colocar el centro de inversión y cuál va a ser nuestra circunferencia fundamental si nuestro objetivo es simplificar el problema?
Pues bien, aquí os presento las dos opciones que tenemos de simplificación: simplificación de datos y simplificación de soluciones.
La simplificación de datos consiste en simplificar los datos del propio enunciado. Es decir, convertir las circunferencias del enunciado en rectas.
Ummm, ¿y eso cómo es posible? Si tan solo existiera una forma en la que una circunferencia se pueda invertir en una recta.
¡Efectivamente! ¡Si la circunferencia pasa por el centro de inversión!
Por lo tanto, si colocamos I en uno de los puntos de corte entre ambas circunferencias, las circunferencias se van a transformar en dos rectas, lo que hace la resolución del problema muuuuuucho más fácil.
Lo que nos queda es: ¿qué potencia de inversión colocamos?
Y la respuesta es la que queramos. Aunque la más cómoda sería desde I hasta el punto P, así ni siquiera tenemos que invertir P, ya que, como está en la circunferencia fundamental, P=P’.
Por lo tanto, como la inversión es una transformación conforme (y eso significa que se conservan los ángulos), las circunferencias que sean tangentes a las rectas, también van a ser tangentes a las circunferencias inversas (o sea, a las circunferencias originales).
Es decir, que tenemos que resolver un problema de “circunferencias tangentes a dos rectas que pasen por un punto”. ¡Conseguido! Y esto ya lo podemos resolver de forma bastante sencilla como un problema fundamental de tangencias o, incluso, por homotecia.
La simplificación de los resultados consiste en transformar las circunferencias solución en rectas.
Ummmm, si tan solo hubiera una forma de invertir circunferencias en rectas, ¿verdad? ¡La hay! Como acabamos de comprobar, si la circunferencia pasa por el centro de inversión, la inversa es una recta que no pasa por I. ¿Y por cuál de los puntos van a pasar las circunferencias solución? Pues por el punto P (ya que lo dice el enunciado).
Por lo tanto, si colocamos I=P, las soluciones van a ser rectas y siempre es más fácil trabajar con rectas que con circunferencias, ¿no es cierto?
De nuevo, nos falta la potencia de inversión y, como antes, podemos colocar la que queramos, pero es mucho más cómodo si hacemos que la potencia sea tal que convierta a una de las circunferencias en ella misma. De este modo, aleluya, sólo tenemos que invertir una de las circunferencias.
Y así el problema se ha convertido en “calcular las rectas tangentes a dos circunferencias”. Un problema insultantemente fácil, si me preguntáis a mí, comparado con el que partíamos de origen.
Nos queda el último de los casos que es cuando las dos circunferencias no se cortan (o incluso, si se cortan, también puede resolverse de esta forma) que es el caso de las soluciones dobles.
Aquí se trata de encontrar una inversión tal que convierta una circunferencia en la otra. Para ello, obtenemos el centro de inversión (que coincide con el centro de homotecia) y obtenemos la circunferencia fundamental.
A continuación, invertimos el punto P y, como hemos forzado para que la inversa de una circunferencia sea la otra, ahora podemos trabajar con cualquiera de ellas, ya que, al ser una transformación conforme, si conseguimos una circunferencia que sea tangente a una de ellas, ya lo va a ser también a la otra. ¡Por las barbas de Apolonio!
Acabamos de convertir el problema en “circunferencias tangentes a una circunferencia (cualquiera de las dos originales) y que pasen por dos puntos (P y P’)”. O sea, directamente, un problema fundamental de tangencias.
Para terminar, aquí tenéis un recurso de Geogebra en el que podréis explorar todos estos casos que hemos visto (moviendo las circunferencias), viendo los pasos que damos para poder obtener las circunferencias tangentes solución.
No os confiéis mucho, amigos, porque, aunque sabéis ya bastante, el mundo inverso es muy ancho y aún no hemos visto ni una pequeña parte.
Sin ir más lejos, este problema que acabamos de resolver, cuando las circunferencias no se cortan, tiene cuatro soluciones en lugar de dos. ¿De dónde salen las otras dos que faltan? Bueno, pues de un concepto espectacularmente sorprendente como es la inversión negativa; tremendamente similar, pero con una potencia negativa.
¿Que cómo es, decís? Alumbrad el camino con la luz de Pitágoras y nos encontraremos más adelante, en un camino por definir, allá donde la métrica está a punto de cruzarse con la proyectiva.
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