Transformaciones geométricas en el plano

Pasad, pasad, amigos, que hoy vamos a estudiar un tema excitante, alucinante, apabullante y escalofriante como pocos: las transformaciones geométricas.

 

Pero sólo nos vamos a centrar en aquellas que se realizan en el plano porque, recordad, tenemos el espacio 3D también y, por supuesto, existen las transformaciones geométricas en el espacio.

 

¡Pero no os abruméis!

 

En el día de hoy sólo vamos a ver las transformaciones en el plano.

 

Ahora bien… ¿Qué es eso de una transformación geométrica?

 

Como su propio nombre indica, una transformación geométrica es una operación que transforma una geometría.

 

Parece evidente, pero nos da la clave de todo. Es decir, nosotros empezamos con una geometría y, al aplicar la transformación, esa geometría se va a transformar en otra cosa. ¿Qué cosa? Aaaaaah, ¡qué gran pregunta! Eso ya va a depender de qué transformación estemos empleando.

 

¿Pero cómo vamos a saber nosotros en qué se va a transformar? ¡Queremos cierta seguridad! Necesitamos tener alguna certeza, por mínima que sea, para conocer en qué se va a transformar una figura. ¿Cómo vamos a lanzar una transformación y que una figura se transforme en cualquier cosa fuera de nuestro control?

 

No os preocupéis porque sí que vamos a saber cómo se van a transformar las figuras. Calmaos suficientemente y seguidme en este trayecto geométrico.

 

Lo que vamos a hacer en primer lugar es una clasificación de las transformaciones; ¿qué tipos de transformaciones hay y cómo podemos ordenarlas mínimamente, aunque sea?

 

Pues, por desgracia, no hay una sola forma de clasificar las transformaciones geométricas. Sin embargo, en esta entrada no nos vamos a centrar en cuál es proyectiva y cuál no, en cuál es centrada y cuál no, en cuál es involutiva y cuál no; sino que vamos a estudiarlas en función de algo, quizás, ligeramente más intuitivo, más visual, que es la forma que tienen las figuras.

 

Es decir, vamos a clasificar las transformaciones en función de la forma original y la forma final después de la transformación.

 

Empezamos con las transformaciones isométricas. ¿Pero qué es eso?

 

Como la propia palabra indica, iso (mismo) y métrica (medida) se refiere a aquellas transformaciones en las que la figura original y su transformada mantienen la misma medida de las cosas.

 

Por ejemplo, si tenemos un triángulo original y aplicamos esa transformación, vamos a obtener como resultado el mismo triángulo, con la misma forma y las mismas medidas, lo que quiere decir que los lados van a medir exactamente lo mismo que los originales.

 

Estas transformaciones son la traslación, el giro y la simetría.

 

La traslación es una transformación que mueve (desplaza) una figura de un lugar a otro. ¡Pero la figura sigue siendo la misma! La única diferencia es que ahora se encuentra en otro sitio.

 

¿Y en función de qué la trasladamos? Pues para ello, vamos a necesitar lo que se llama un vector de traslación, es decir un vector que, como todo vector, nos da la dirección de desplazamiento, el sentido del mismo y la cantidad que tenemos que desplazarlo (o sea, el módulo de dicho vector).

 

¡Observad a continuación las maravillas de la tecnología con este Geogebra en el que podréis manipular los elementos que necesitéis para poder entender cómo funciona la traslación!

 

 

Además de la traslación, como transformación isométrica, tenemos el giro. Todos nosotros entendemos de manera intuitiva lo que es un giro y podemos vislumbrar, sin demasiadas dificultades, que la figura transformada va a ser la misma con una única diferencia: que estará girada… Pero ya está. La forma y medidas de la figura van a ser las mismas.

 

En el Geogebra que tenéis a continuación podéis explorar los pasos necesarios para realizar el giro de una figura (un triángulo, en este caso), para un giro de 120º, que es el que se pone como ejemplo. De vital importancia es recordar que, al girar varios puntos de una misma figura, todos han de ser girados el mismo número de grados y en el mismo sentido para que se pueda mantener la tan necesaria isometría.

 

 

Y, por si fuera poco, aquí os obsequio con otro Geogebra en el que podréis entender el funcionamiento del giro tanteando el ángulo de giro de una figura.

 

 

Por último, entre las transformaciones isométricas se encuentra la simetría, que, de nuevo, nos ofrece la misma figura como transformada, pero dada la vuelta (es decir, su simétrica).

 

Existen dos tipos de simetría: la central (aquella que tiene un centro de simetría y todos los rayos se dirigen a él) y la axial (aquella que tiene un eje de simetría y todos los rayos son perpendiculares a él).

 

Aquí tenéis a la gran simetría, en este Geogebra próximo, con sus ambas ramificaciones (la central y la axial), explicadas paso a paso y, si sois ávidos e intrépidos geómetras, podréis encontrar entre sus enseñanzas, algún que otro consejo y más de una advertencia.

 

 

El siguiente tipo de transformaciones geométricas ya no va a mantener la medida de las cosas, pero sí la forma. Estas son las que llamados como transformaciones isomórficas. Por lo tanto, estamos hablando aquí de un tipo de transformaciones en los que la figura transformada va a tener exactamente la misma forma, pero no el mismo tamaño…

 

Qué interesante… ¿Se os ocurre alguna especie de magia arcana que actúe de semejante manera?

 

¡Exacto! ¡Vosotros lo habéis dicho! La homotecia (también conocida como escala). La transformación que únicamente cambia las figuras de tamaño y las hace más grandes o más pequeñas, siendo las figuras exactamente de la misma forma.

 

En este Geogebra podréis explorar cómo funciona, paso a paso, la homotecia de una figura. Y, cuidado, que siempre deberéis contar con un centro de homotecia y una razón de homotecia para llevar a cabo esta transformación.

 

(El término razón ya debe estar haciendo que salivemos pensando en lo bien que vamos a pasarlo aplicando Tales).

 

¡Larga vida a Tales!

 

 

Y, como regalo por ser tan excelentes dibujantes de mundos geométricos, ahora quiero que os deleitéis con el siguiente recurso en el que podréis explorar qué sucede si se cambia la importantísima razón de homotecia.

 

 

Si hemos estudiado aquellas transformaciones que mantienen la forma y la medida y, a continuación, hemos visto las que mantienen la forma, pero no la medida, ¿cuál, mis aventajados amigos, creéis que será el siguiente tipo de transformaciones?

 

¡Lo habéis adivinado! Aquellas que ni siquiera mantienen la forma. Es decir, las que se llaman transformaciones anamórficas.

 

Y, en este grupo, se encontrarían la inversión y la homología. Transformaciones complejas y con múltiples ramificaciones y posibilidades que no descubriremos aquí (pues el objetivo de esta entrada es ofrecer una clasificación de las diferentes transformaciones geométricas y no tanto entrar en los recovecos de las que, sin duda, son las transformaciones más difíciles de todas).

 

Sin embargo, para no dejaros sin recompensa, os dejo un Geogebra aquí a continuación con un sistema de inversión en el que podéis ver cómo cambia una figura aplicando esta transformación y cómo la figura final no tiene en absoluto la misma forma que la original.

 

Como píldora de conocimiento, dejaré caer que la base de la inversión es la potencia, algo que tenéis explicado en una entrada anterior.

 

 

Para terminar, aquí tenéis al Leviatán de las transformaciones geométricas, al destructor de mundos. ¡Arrodillaos y contemplad la magnificencia de la gran homología!

 

Una transformación que no explicaremos hoy, pero que debéis saber que su fundamento se encuentra entre las bases de la geometría proyectiva.

 

Y, como muestra de agradecimiento final, os adjunto un recurso en el que podéis manipular una figura en un sistema de homología y entender cómo es, efectivamente, una transformación anamórfica.

 

 

A más ver, mis queridos amigos geómetras, dibujantes de lo desconocido, escritores gráficos.

 

Si la geometría nos lo permite, nuestros caminos se cruzarán más adelante, quién sabe si resolviendo una inversión o explicando qué es una recta límite.